同樣的, 對於對應域 W 中的子集合 S′, 我們也會考慮 T−1(S′) ={v ∈ V | T(v

(1)

4.2. Kernel and Range

Linear transformation 由於有保持 linear combination 的特點, 所以它會保持定義域與對應域中的 subspaces. 在這一節中我們便是要探討一個 linear transformation 所得到的兩個重要的 subspaces, “null space” 和 “range”, 並利用這兩個 subspace 來探討 linear transformation 本身的特點.

首先對於一般的函數 T : V → W, 任取定義域 V 中的子集合 S, 我們很自然的會考 慮 T (S) ={T(v) ∈ W | v ∈ S} 這一個集合, 它就是將所有 S 中的元素利用 T 映射到 W

後的元素收集起來所得的集合. 同樣的, 對於對應域 W 中的子集合 S^′, 我們也會考慮

T⁻¹(S^′) ={v ∈ V | T(v) ∈ S^′} 這樣的集合, 它就是收集所有在定義域中會映射到 S^′ 的元素所 成的集合. 很容易知道 T (S) 會是對應域 W 中的子集合, 而 T⁻¹(S^′) 會是定義域 V 中的子集 合. 注意當 w∈ T(S) 時, 依定義這表示 w 是 S 中某個元素經 T 映射所得, 亦即存在 v ∈ V 使得 w = T (v). 所以 T (S) 也可表示成 T (S) ={w ∈ W | w = T(v), for some v ∈ S}, 有時為了 強調 T (S) 為 W 的子集合, 我們也會用這種表示法.

由於 linear transformation 的特色, 當 T : V → W 為 linear transformation 時, 我們專注 於考慮 V^′ 為 V 的 subspace 時的情況. 也就是說我們要了解

T (V^′) ={T(v) ∈ W | v ∈ V^′} = {w ∈ W | w = T(v), for some v ∈ V^′} 的特性. 同樣的若 W^′ 為 W 的 subspace, 我們也要了解

T⁻¹(W^′) ={v ∈ V | T(v) ∈ W^′} 的特性. 事實上, 我們有以下之結果.

Proposition 4.2.1. 假設 V,W 皆為 vector space overF 且 T : V → W 為 linear transforma- tion. 若 V^′ 為 V 的 subspaces, 則 T (V^′) 是 W 的 subspace. 另外, 若 W^′ 為 W 的 subspaces, 則 T⁻¹(W^′) 是 V 的 subspace.

Proof. 依定義我們知 T (V^′) 會是 W 的子集合, 而 T⁻¹(W^′) 會是 V 的子集合. 故現僅需 證明它們為 subspaces, 即利用 Corollary 2.3.3 我們要證明, 若 w, w^′∈ T(V^′) 且 r∈ F, 則 w + rw^′∈ T(V^′) 以及若 v, v^′∈ T⁻¹(W^′) 且 r∈ F, 則 v + rv^′∈ T⁻¹(W^′).

首先再強調一次, 當我們說 W 中的一個向量 w 在 T (V^′) 時, 表示存在 v∈ V^′ 使得 w = T (v). 因此若 w, w^′∈ T(V^′),則存在 v, v^′∈ V^′ 使得 T (v) = w, T (v^′) = w^′. 此時對於 r∈ F, 我們有 w + rw^′= T (v) + rT (v^′). 再利用 T 為 linear, 得 w + rw^′= T (v + rv^′). 然而依假設 V^′ 為 V 的 subspace, 故由 v, v^′∈ V^′ 知 v + rv^′∈ V^′, 得證 w + rw^′= T (v + rv^′)∈ T(V^′).

另一方面, 若 v, v^′∈ T⁻¹(W^′), 表示 T (v), T (v^′)∈ W^′. 此時對於 r∈ F, 由於 T 為 linear, 我們有 T (v + rv^′) = T (v) + rT (v^′). 然而依假設 W^′ 為 W 的 subspace, 故由 T (v), T (v^′)∈ W^′ 知 T (v) + rT (v^′)∈ W^′. 因此由 T (v + rv^′) = T (v) + rT (v^′)∈ W^′, 得證 v + rv^′∈ T⁻¹(W^′).

特別的, 在 V^′= V 和 W^′={0} 這兩個特殊情況時, 即

T (V ) ={w ∈ W | w = T(v) for some v ∈ V} and T⁻¹({0}) = {v ∈ V | T(v) = 0}

(2)

這兩個 subspaces, 對我們了解 T 這個 linear transformation 非常有幫助. 我們先給這兩個 subspace 特殊的名稱.

Definition 4.2.2. 假設 V,W 皆為 vector space overF 且 T :V →W 為 linear transformation.

(1) 我們稱 W 的 subspace T (V ) 為 T 的 range (也稱為 image). 通常我們用 R(T ) (或 im(T )) 來表示 T 的 rang.

(2) 我們稱 V 的 subspace T⁻¹({0}) 為 T 的 null space (也稱為 kernel), 通常我們用 N(T ) (或 ker(T )) 來表示 T 的 null space.

首先我們來看 linear transformation 的 range. 假設 T : V→ W 為 linear transformation.

由 Proposition 4.2.1 我們知 T 的 range R(T ) 是 W 的 subspace, 故知 dim(R(T ))≤ dim(W).

若 dim(R(T )) = dim(W ), 則依 Proposition 2.6.11 知此時 R(T ) = W . 也就是說對於任意的 w∈ W, 由於 w ∈ R(T) 依定義存在 v ∈ V 使得 w = T(v). 也就是說此時 T 為 onto. 另一方 面, 若 T 為 onto, 則依定義對於任意 w∈ W, 存在 v ∈ V 使得 T(v) = w 故得 w ∈ R(T), 得 證 W⊆ R(T). 再利用已知 R(T) ⊆ W, 得證 R(T) = W. 我們有以下的性質.

Proposition 4.2.3. 假設 T : V → W 為 linear transformation. 則 T 為 onto 若且唯若 dim(R(T )) = dim(W ).

一般來說, 我們要判斷一個函數是否為 onto 便是要確認其 range 是否就是 codomain (對應域). 對於一般的函數要確認是否為 onto 有時並不容易. 不過 Proposition 4.2.3 告訴我們對於 linear transformation, 可以直接由它的 range 的 dimension 來判斷是否為 onto.

至於如何知道一個 linear transformation 的 range 呢? 我們有以下的性質.

Proposition 4.2.4. 假設 V,W 皆為 vector space over F 且 T : V → W 為 linear transfor- mation 且 v₁, . . . , v_n∈ V 為 V 的一組 spanning vectors. 則

R(T ) = Span(T (v₁), . . . , T (v_n)).

Proof. 設 w∈ R(T), 表示存在 v ∈ V 使得 w = T(v). 又因 v1, . . . , v_n 是 V 的一組 spanning vectors, 故存在 c1,··· ,cn∈ F, 使得 v = c1v₁+··· + cnv_n. 因此利用 T 為 linear 得

w = T (v) = T (c₁v₁+··· + cnv_n) = c₁T (v₁) +··· + cnT (v_n)∈ Span(T(v1), . . . , T (v_n)), 得證 R(T )⊆ Span(T(v1), . . . , T (vn)).

另一方面, 設 w∈ Span(T(v1), . . . , T (vn)), 表示存在 c₁,··· ,cn∈ F, 使得 w = c1T (v1) +

··· + cnT (v_n). 因此利用 T 為 linear 得

w = c₁T (v1) +··· + cnT (vn) = T (c₁v₁+··· + cnv_n)∈ R(T),

得證 Span(T (v₁), . . . , T (v_n))⊆ R(T). 因此證明了 R(T) = Span(T(v1), . . . , T (v_n)).

Example 4.2.5. (1) 考慮 T :R³→ R² 定義為 T (



 x₁ x2

x3



) =[

x1+ x₂ x1− x3

]

. 在 Example 4.1.4 中我們已知 T 是一個 linear transformation. 考慮定義域 R³ 的 standard basis{e1, e₂, e₃},

(3)

我們得 T (



1 0 0



) =[ 1 1 ]

, T (



0 1 0



) =[ 1 0 ]

, T (



0 0 1



) =[ 0

−1 ]

.由於 [1

1 ]

, [1

0 ]

, [ 0

−1 ]

為 R² 的一組

spanning vectors, 由 Proposition 4.2.4 我們有 R(T ) = Span(

[1 1 ]

, [1

0 ]

, [ 0

−1 ]

) =R². 故得 T 為 onto.

(2) 考慮 T :R²→ R³ 定義為 T ( [ x₁

x2

] ) =



 x₁ x1+ x₂ x1− x2



. 很容易驗證 T 是一個 linear

transformation. 考慮定義域R² 的 standard basis{e1, e₂}, 我們得 T(

[1 0 ]

) =



1 1 1



, T([ 0 1 ]

) =



 0 1

−1



. 由 Proposition 4.2.4 我們有 R(T) = Span(



1 1 1



,



 0 1

−1



). 由於



1 1 1



,



 0 1

−1



 為 linearly independent, 故得 dim(R(T )) = 2. 由 Proposition 4.2.3 知 T 不是 onto.

Question 4.4. 假設 T : V→ W 為 linear transformation. 若 dim(W) > dim(V), 則 T 有可 能是 onto 嗎?

Question 4.5. 假設F 是 field 且 A ∈ Mm×n(F), 考慮 linear transformation TA:Fⁿ→ F^m定 義為 T_A(v) = Av, ∀v ∈ Fⁿ. 考慮 Fⁿ 的 standard basis {e1, . . . , e_n}. 試說明 R(TA) (即 T_A 的 rang) 和 Col(A) (即 A 的 column space) 之間的關係.

要注意是有可能一個 linear transformation T 的 range 為{0}. 此表示 T 將所有定義域 的向量皆映射到 0, 亦即 T (v) = 0, ∀v ∈ V. 這樣的 linear transformation, 我們依慣例, 仍稱 之為 zero mapping.

Question 4.6. 假設 T : V→ W 為 linear transformation 且 v1, . . . , v_n∈ V 為 V 的一組 basis.

試證明 T 為 zero mapping 若且唯若 T (v₁) =··· = T(vn) = 0.

接下來我們看 null space 與 linear transformation 的關係. 假設 T : V → W 為 linear transformation. 若 T 為 one-to-one, 由於已知 T (0) = 0, 故知不可能有非零的向量 v 使得 T (v) = 0. 因此可得 N(T ) ={0}. 其實反過來 N(T) = {0}, 也會使得 T 為 one-to-one, 我們 有以下的結果.

Proposition 4.2.6. 假設 T : V → W 為 linear transformation. 則 T 為 one-to-one 若且唯 若 dim(N(T )) = 0, 亦即 N(T ) ={0}.

Proof. 我們已知當 T 為 one-to-one 時, 不會有非零向量映射到 0, 故知 N(T ) ={0}, 得 dim(N(T )) = 0. 反之, 當 dim(N(T )) = 0, 即 N(T ) ={0}, 此時若 T 不是 one-to-one, 表示存 在 v, v^′∈ V 滿足 v ̸= v^′ 但 T (v) = T (v^′). 由於 T 為 linear, 得 T (v− v^′) = T (v)− T(v^′) = 0, 亦即 v− v^′∈ T⁻¹({0}) = N(T) = {0}. 得到 v = v^′ 之矛盾, 故證得 T 為 one-to-one. Example 4.2.7. 我們探討 Example 4.2.5 中的 linear transformation 是否為 one-to-one.

(4)

(1) 考慮 T :R³→ R² 定義為 T (



 x₁ x2

x3



) =[

x₁+ x₂ x1− x3

]

. 若 v =



a b c



 ∈ N(T), 表示 T(v) =

T (



a b c



) =[ a + b a− c ]

= [0

0 ]

, 故得 a+b = 0 以及 a−c = 0, 因此可得



 1

−1 1



 ∈ N(T), 知 N(T) ̸= {0}

(事實上 N(T ) = Span(



 1

−1 1



)). 所以知 T 不是 one-to-one.

(2) 考慮 T :R²→ R³ 定義為 T ( [ x1

x₂ ]

) =



 x1

x₁+ x₂ x₁− x2



. 若 v =[ a b ]

∈ N(T), 表示 T(v) =

T ( [a

b ]

) =



 a a + b a− b



 =



0 0 0



. 故得 a = 0, a + b = 0 以及 a − b = 0, 即 a = b = 0. 因此可得 N(T ) ={0}, 所以由 Proposition 4.2.6 知 T 是 one-to-one.

要注意 Proposition 4.2.6 需 T 為 linear transformation 才適用. 例如 f (x) = x² 的情 形, 雖然 f⁻¹(0) ={0} (因為只有當 x = 0 才會使得 x²= 0) 但 f (x) 不是一對一 (例如 f (1) = f (−1) = 1). 事實上我們知道 f (x) 不是 linear. 所以當 f 不是 linear transformation 時, 不能由 f⁻¹({0}) 來判斷是否為 one-to-one.

Question 4.7. Proposition 4.2.6 中是哪一個部分需用到 T 為 linear 的假設? 是由 T 為 one-to-one 推得 N(T ) ={0} 還是由 N(T) = {0} 推得 T 為 one-to-one?

Question 4.8. 假設 T : V → W 為 linear transformation. 在 Question 4.6 中我們知道 T 為 zero mapping 和 T 的 range 的等價關係. 你知道 T 為 zero mapping 和 T 的 null space 的等價關係嗎?

Question 4.9. 假設F 是 field 且 A ∈ Mm×n(F), 考慮 linear transformation TA:Fⁿ→ F^m定 義為 T_A(v) = Av,∀v ∈ Fⁿ. 試說明 N(TA) (即 T_A 的 null space) 和 N(A) (即 A 的 null space) 之間的關係.

對於一般的函數, 要判斷其是否為 onto 或是 one-to-one 並不容易, 但當 T 為 linear transformation 時, Proposition 4.2.3 和 Proposition 4.2.6 提供我們一個簡便的方法判斷 T 是否為 onto 或是 one-to-one. 也就是僅要確認 R(T ) 和 N(T ) 的維度即可. 既然 R(T ) 和 N(T ) 的維度這麼重要, 我們有以下的定義.

Definition 4.2.8. 假設 V,W 皆為 vector space overF 且 T :V →W 為 linear transformation.

(1) 我們稱 T 的 range R(T ) 的維度為 T 的 rank, 記做 rank(T ).

(2) 我們稱 T 的 null space N(T ) 的維度為 T 的 nullity, 記做 nullity(T ).

Question 4.10. 假設 F 是 field 且 A ∈ Mm×n(F), 考慮 linear transformation TA:Fⁿ→ F^m 定義為 T_A(v) = Av, ∀v ∈ Fⁿ. 試說明 rank(TA) 和 rank(A) 以及 nullity(TA) 和 nullity(A) 之間 的關係.

(5)

在 Question 4.10 中我們看到 matrix 的 rank 和 nullity 和 linear transformation 的 rank 和 nullity 關係密切. 對於 matrix 的 rank 和 nullity 我們有所謂的 Dimension Theorem (參見 Theorem 3.6.14), 對於 linear transformation 我們也有以下的定理.

Theorem 4.2.9 (Dimension Theorem). 假設 V,W 皆為 vector space over F, 其中 V 為 finite dimensional. 若 T : V→ W 為 linear transformation 則

rank(T ) + nullity(T ) = dim(V ).

Proof. 假設 u1, . . . , un∈ N(T), 為 T 的 null space 的一組 basis. 因為 u1, . . . , un在 V 中且為 linearly independent, 故由 Proposition 2.6.6 知存在 v₁, . . . , v_m∈V 使得 {u1, . . . , u_n, v₁, . . . , v_m} 為 V 的一組 basis. 注意此時 nullity(T ) = dim(N(T )) = n 且 dim(V ) = m + n. 我們要證明 {T(v1), . . . , T (v_m)} 會是 R(T) 的一組 basis.

首先證明 Span(T (v1), . . . , T (vm)) = R(T ). 由 Proposition 4.2.4, 我們知 R(T ) = Span(T (u₁), . . . , T (u_n), T (v₁), . . . , T (v_m)).

然而 u₁, . . . , un∈ N(T), 亦即 T(u1), . . . , T (un) 皆為 W 中的零向量, 故得 R(T ) = Span(T (v₁), . . . , T (v_m)).

接下來我們證明{T(v1), . . . , T (v_m)} 為 linearly independent. 假設 {T(v1), . . . , T (v_m)} 不 是 linearly independent, 亦即存在 c₁, . . . , cm∈ F 不全為 0 使得 c1T (v1) +··· + cmT (vm) = 0.

此時由 T 為 linear transformation 知 T (c₁v₁+· + cmv_m) = 0, 因此得 c₁v₁+· + cmv_m∈ N(T).

然而{u1, . . . , u_n} 為 N(T) 的 basis, 故存在 d1, . . . , d_n∈ F 使得 c1v₁+·+cmv_m= d₁u₁+·+dnu_n, 故得

d₁u₁+··· + dnu_n− c1v₁− ··· − cmv_m= 0.

然而 {u1, . . . , u_n, v₁, . . . , v_m} 為 linearly independent, 故得 d1=··· = dm= c₁=··· = cm= 0.

此與 c₁, . . . , c_m 不全為 0 相矛盾, 故得證 {T(v1), . . . , T (v_m)} 為 linearly independent.

既然{T(v1), . . . , T (v_m)} 是 R(T) 的一組 basis, 我們有 rank(T) = dim(R(T)) = m, 故得證

rank(T ) + nullity(T ) = dim(V ).

前面提過對於一般的函數, 要探討是否為 onto 或是 one-to-one 並不容易. 而對於 linear transformation, 我們可以藉由求其 range 及 null space 這兩個 subspaces 來了解這些問題.

而 Dimension Theorem 告訴我們, 只要了解 range 及 null space 這兩個 subspaces 中其中一個, 就可以了解另一個了.

Question 4.11. 假設 V,W 皆為 vector space overF 且 dim(V) = dim(W). 若 T : V → W 為 linear transformation, 證明 T 是 one-to-one 若且唯若 T 為 onto.

———————————– 06 December, 2018